Question

已知1≤x≤10且xy²=100，求（lgx）²+（lgy）²的最大值和最小值，并求取得最大值和最小值时相应的x，y的值．

Answer

由题意，要求（lgx）2+（lgy）2的最大值和最小值，可先处理条件xy2=100，两边取常用对数，得到lgx+2lgy=2，由于得到lgy=1-lgx，将其代入到f（x）=（lgx）2+（lgy）2中即可得到（lgx）2+（lgy）2关于lgx的一元二次函数，令lgx=t，换元后由二次函数的性质求最值，及相应的x，y的值
【解析】
xy2=100 两边取对数得到：lg（xy2）=lg100=2 lgx+2lgy=2 所以：lgy=1-lgx．f（x）=（lgx）2+（lgy）2=（lgx）2+[1-lgx]2=（lgx）2-lgx+1 设lgx=t，则有0≤t≤1，f（x）=t2-t+1 对称轴t=，在区间[0，1]范围内，所以：f（x）在t=处取得最小值，此时x=，y=； f（x）在t=1处取得最大值，此时x=10，y=．