Question

已知定义域为R的奇函数f（x）在[0，+∞）上为减函数，判断 f（x）在（-∞，0）上的单调性并给以证明．

Answer

设x1，x2∈（-∞，0），且x1＜x2，则有-x1＞-x2＞0，然后根据奇函数f（x）在[0，+∞）上为减函数，建立不等关系，化简即可得到f（x1）＞f（x2），从而得到函数的单调性．
【解析】
f（x）是（-∞，0）上的单调递减函数．
证明如下：设x1，x2∈（-∞，0），且x1＜x2，则有-x1＞-x2＞0…（4分）
∵f（x）是[0，+∞）上的减函数∴f（-x1）＜f（-x2）…（7分）
又∵f（x）为R上的奇函数∴-f（x1）＜-f（x2），即f（x1）＞f（x2）．…（10分）
故f（x）是（-∞，0）上的单调递减函数…．．（12分）