Question

【解析图片】设二次函数f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R）满足f（-1）=0，且对任意实数x，均有x-1≤f（x）≤x²-3x+3恒成立．
（1）求f（x）的表达式；
（2）若关于x的不等式f（x）≤nx-1的解集非空，求实数n的取值的集合A．
（3）若关于x的方程f（x）=nx-1的两根为x₁，x₂，试问：是否存在实数m，使得不等式m²+tm+1≤|x₁-x₂|对任意n∈A及t∈[-3，3]恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer

（1）使用待定系数法求函数的解析式，关键是根据已知条件构造方程组．
（2）当f（x）的二次系数a＞0时，f（x）≤0的解集非空⇔△≥0
（3）可将其转化为求的关于m的不等式组．
【解析】
（1）由x-1=x2-3x+3可得x=2，
故由题可知1≤f（2）≤1，
从而f（2）=1．
因此，
故b=-a，c=-2a．由x-1≤f（x）
得ax2-（+a）x+-2a≥0对x∈R恒成立，
故△=（+a）2-4a（-2a）≤0，
即9a2-4a+≤0，
解得a=，
故f（x）=x2+-
（2）由x2+-≤nx-1
得2x2+（1-9n）x+8≤0，
故△=（1-9n）2-64≥0，
解得n≤-或n≥1，从而A=（-∞，-]∪[1，+∞）
（3）显然|x1-x2|≥0，当且仅当n=-或n=1时取得等号，
故m2+tm+1≤0对t∈[-3，3]恒成立．记g（t）=m•t+（m2+1），
则有，
即，
故m∈∅，不存在这样的实数m