Question

已知数列{a_n}，首项a ₁=3且2a _n=S _n•S _n-1 （n≥2）．
（1）求证：{}是等差数列，并求公差；
（2）求{a _n }的通项公式；
（3）数列{a_n}中是否存在自然数k，使得当自然数k≥k时使不等式a_k＞a_k+1对任意大于等于k的自然数都成立，若存在求出最小的k值，否则请说明理由．

Answer

（1）由已知中2a n=S n•S n-1，我们易可2（Sn-Sn-1）=Sn•Sn-1，两这同除Sn•Sn-1后，即可得到（n≥2），即数列{}是以为公差等差数列，再由首项a 1=3，代入求出数列{}的首项，即可得到数列{}的通项公式；
（2）由（1）的结论，结合2a n=S n•S n-1，我们可以得到n≥2时，{a n }的通项公式，结合首项a 1=3，我们可以得到{a n }的通项公式；
（3）令ak＞ak+1解不等式我们可以求出满足条件的取值范围，再根据k∈N，即可得到满足条件的k值．
【解析】
（1）．由已知当n≥2时2an=Sn•Sn-1得：2（Sn-Sn-1）=Sn•Sn-1（n≥2）⇒（n≥2）⇒是以为首项，公差d=-的等差数列．
（2）．∵=，
从而，
∴
（3）.