Question

已知直线l：y=-x+1与椭圆=1（a＞b＞0）相交于A、B两点，且线段AB的中点为（．
（1）求此椭圆的离心率．
（2）若椭圆右焦点关于直线l：y=-x+1的对称点在圆x²+y²=5上，求椭圆方程．

Answer

（Ⅰ）联立直线与椭圆的方程得关于x的一元二次方程；设出A、B两点的坐标，由根与系数的关系，可得x1+x2，y1+y2；从而得线段AB的中点坐标，得出a、c的关系，从而求得椭圆的离心率．
（Ⅱ）设椭圆的右焦点坐标为F（c，0），F关于直线l的对称点为（1，1-c），代入圆的方程 x2+y2=1，得出c的值，从而得椭圆的方程．
【解析】
（1）由得（b2+a2）x2-2a2x+a2-a2b2=0
△=4a4-4（a2+b2）（a2-a2b2）＞0⇒a2+b2＞1
设A（x1，y1），B（x2，y2），则
∵线段AB的中点为（，
∴，于是得：a2=2b2
又 a2=b2+c2，∴a2=2c2，∴
（2）设椭圆的右焦点为F（c，0），则点F关于直线l：y=-x+1的对称点P（1，1-c）
由已知点P在圆x2+y2=5上，
∴1+（1-c）2=5，整理得c2-2c-3=0，解得c=3或c=-1
∵c＞0，∴c=3，从而a2=18，b2=c2=9，
所求的椭圆方程为：