Question

已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁．
（I）求CD₁与平面ADD₁A₁所成角；
（II）求证：CD₁∥平面A₁BD；
（III）求证：平面ACC₁A₁⊥平面A₁BD．

Answer

（I）直接根据CD⊥平面ADD1A1，DD1为斜线CD1在平面ADD1A1上的射影，得到∠CD1D即为所求，然后在等腰直角三角形CDD1中求出∠CD1D即可；
（II）先根据A1D1∥BC且A1D1=BC，得到A1D1CB为平行四边形⇒D1C∥A1B，即可得到结论；
（III）先根据AA1⊥平面ABCD，得到AA1⊥BD；再结合BD⊥AC可得BD⊥平面A1ACC1，进而证明结论．
【解析】
（I）因为CD⊥平面ADD1A1，DD1为斜线CD1在平面ADD1A1上的射影，
则∠CD1D即为所求．
在等腰直角三角形CDD1中可得，∠CD1D=45°．
（II）证明：因为A1D1∥BC且A1D1=BC，所以A1D1CB为平行四边形，
所以D1C∥A1B且D1C⊄平面A1BD，
所以D1C∥平面A1BD．
（III）证明：因为AA1⊥平面ABCD，所以AA1⊥BD，
又因为BD⊥AC，AA1∩AC=A，
所以BD⊥平面A1ACC1，
又BD⊂平面A1BD，
所以平面A1BD⊥平面ACC1A1．