Question

已知函数f（x）=-x³-bx²-5cx在（-∞，0]上单调递减，在[0，6]上单调递增．
（1）求实数c的值；
（2）求b的取值范围．

Answer

（1）由函数f（x）=-x3-bx2-5cx在（-∞，0]上单调递减，在[0，6]上单调递增，可得函数在x=0处有极小值，即f′（0）=0，解得c的值
（2）由函数f（x）=-x3-bx2-5cx在（-∞，0]上单调递减，在[0，6]上单调递增．可得f′（x）=-3x2-2bx≥0在[0，6]上恒成立，解这个恒成立问题即可得b的取值范围
【解析】
（1）f′（x）=-3x2-2bx-5c
∵函数f（x）=-x3-bx2-5cx在（-∞，0]上单调递减，在[0，6]上单调递增，∴函数在x=0处有极小值，
∴f′（0）=-5c=0，c=0
（2）∵f′（x）=-3x2-2bx≥0在[0，6]上恒成立，即2b≤-3x在[0，6]上恒成立，∴b≤-9
∴b的取值范围为b≤-9