Question

给出下列四个命题：
①函数f（x）=x|x|+bx+c为奇函数的充要条件是c=0；
②函数y=2^-x（x＞0）的反函数是y=-log₂x（x＞0）；
③若函数f（x）=lg（x²+ax-a）的值域是R，则a≤-4或a≥0；
④若函数y=f（x-1）是奇函数，则函数y=f（x）的图象关于点（-1，0）对称．
其中正确命题的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

Answer

逐个加以判别：根据奇函数定义得到①正确；根据原函数的值域是反函数的定义域，得到②不正确；根据对数型函数的值域求法，得到③正确；根据奇函数图象关于原点对称以及函数图象平移规律，得到④正确．由此可得正确选项．
【解析】
先看①：当c=0时，函数f（x）=x|x|+bx+c变为f（x）=x|x|+bx
此时f（-x）=-x|-x|-bx=-f（x），说明f（x）奇函数
反之，当函数是一个奇函数时，由f（-x）=-f（x），可得到c=0，
因此函数f（x）=x|x|+bx+c为奇函数的充要条件是c=0，故①正确；
再看②：由y=2-x（x＞0）得x=-log2y，（0＜y＜1）
说明函数y=2-x（x＞0）的反函数是y=-log2x（0＜x＜1），故②不正确；
然后看③：函数f（x）=lg（x2+ax-a）的值域是R，等价于真数可以取到所有的正数，
说明真数对应的二次函数的判别式大于0，
即a2+4a≥0，得到a≤-4或a≥0，故③正确．
最后看④：函数y=g（x）=f（x-1）是奇函数，说明g（x）的图象关于原点对称，
而y=f（x）的图象是由y=g（x）图象左移一个单位而来的，
说明y=f（x）的图象关于点（-1，0）对称，故④正确．
综上所述，得正确命题是①③④三个
故选C