Question

已知函数f（x）=x³+ax与g（x）=bx²+c的图象相交于一点P（t，0），且t≠0两函数的图象在点P处有相同的切线．
（1）当t=1时，求a，b，c．
（2）若函数y=g（x）-f（x）在（-1，3）上单调递增，求t的取值范围．

Answer

（1）由题意知f′（1）=g′（1），且f（1）=g（1）=0进而得到3+a=2b，且1+a=0，b+c=0，解之可得a，b，c的答案．             
（2）由题意得a=-t2，b=t，c=-t3，所以y=f（x）-g（x）=x3-t2x-tx2+t3，所以y′=3x2-2tx-t2=（3x+t）（x-t）．由题意得函数y=f（x）-g（x）在（-1，3）上单调递减，所以y′≤0在（-1，3）上恒成立．所以y′|x=-1≤0且y′|x=3≤0，即可解出答案t≥3或t≤-9．
【解析】
（1）由已知f′（1）=g′（1），且f（1）=g（1）=0
∴3+a=2b，且1+a=0，b+c=0          
得：a=-1，b=1，c=-1．            
（2）由题意得f（t）=t3+at=0，g（t）=bt2+c=0，且f′（t）=g′（t），
所以a=-t2，b=t，c=-t3
所以y=f（x）-g（x）=x3-t2x-tx2+t3
所以y′=3x2-2tx-t2=（3x+t）（x-t）
因为y=g（x）-f（x）在（-1，3）上单调递增
所以函数y=f（x）-g（x）在（-1，3）上单调递减，
因为y′=3x2-2tx-t2开口向上，
∴y′|x=-1≤0且y′|x=3≤0；即3+2t-t2≤0，27-6t-t2≤0
所以：t≥3或t≤-9．
所以t的取值范围t≥3或t≤-9．