Question

（1）求证：C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ=n•2ⁿ-¹ （n∈N*）
（2）设n是满足C_n+2C_n¹+3C_n²+…+（n+1）•C_nⁿ＜1000的最大正整数，求97ⁿ除以99的余数．
（3）当n∈N*且n＞1时，求证2＜（1+）ⁿ＜3．

Answer

（1）直接采用倒序相加法再结合组合数的性质即可证明结论；
（2）先对Cn+2Cn1+3Cn2+…+（n+1）•Cnn进行整理，结合第一问的结论求出满足Cn+2Cn1+3Cn2+…+（n+1）•Cnn＜1000的最大正整数n；再根据977=（99-2）7=C7•997-C71•996•2+…+C76•99•26-C77•27，把问题转化为-C77•27除以99的余数即可；
（3）直接根据（1+）n=cn+Cn1•+Cn2•+…+Cnn•（）n只用前两项即可证明不等式的前半部分；再通过组合数的性质对等式右边进行放缩即可证明右边．
证明：（1）记S=Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn，
倒序则S=nCnn+（n-1）Cnn-1+…+Cn1 （2分）
∴2S=ncn+nCn1+…+nCnn=n•2n
∴S=n•2n-1 …（2分）
【解析】
（2）Cn+2Cn1+3Cn2+…+（n+1）Cnn
=（Cn+Cn1+…Cnn）+（Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn） （1分）
=2n+n•2n-1＜1000
由于7•26+27=576＜1000＜1280=8•27+28，
∴n=7  …（2分）
977=（99-2）7=C7•997-C71•996•2+…+C76•99•26-C77•27
∴97n除以99的余数即为-C77•27除以99的余数70  （2分）
证明：（3）∵（1+）n=cn+Cn1•+Cn2•+…+Cnn•（）n＞cn+Cn1•=2 （1分）
∵cn+Cn1•+Cn2•+…+Cnn•（）n
=2+•+…+•
＜2++…+（2分）
＜2++…+
=2+（1-）+…+（-）
=3-＜3 （2分）