Question

如图，梯形ABCD中，CD∥AB，，E是AB的中点，将△ADE沿DE折起，使点A折到点P的位置，且二面角P-DE-C的大小为120°
（1）求证：DE⊥PC；
（2）求点D到平面PBC的距离；
（3）求二面角D-PC-B的大小．

Answer

（1）四边形ADCE是菱形，连接AC交DE于F，连接PF，则DE⊥AC，DE⊥PF，AC∩PF=F，根据直线与平面垂直的判定定理可知，DE⊥平面PFC，又PC⊂平面PFC，则DE⊥PC．
（2）利用线面平行进而把点D转化为点F到面得距离，在利用面面垂直得到垂足的位置，然后在三角形中解出所求线段的长度．
（3）利用二面角的平面角定义找到二面角的平面角，然后在Rt△DHO中解出二面角的大小即可；
【解析】
（1）连接EC，
∵E是AB的中点，∴，
又∵，∴DC∥EB且DC=EB
∴CD∥AE且CD=AE，
∴四边形ADCE为平行四边形，
又AD=DC，∴四边形ADCE是菱形．
连接AC交DE于F，连接PF，
则DE⊥AC，DE⊥PF，
∵AC∩PF=F，∴DE⊥平面PFC．
又∵PC⊂平面PFC，∴DE⊥PC．
（ 2）∵DE∥BC，DE在平面PBC外，
∴DE∥面PBC，∴D点到面PBC的距离即为点F到面PBC的距离，过点F作FG⊥PC，垂足为G，
∵DE⊥面PCF，∴BC⊥面PCF∴面PBC⊥面PCF，∴FG⊥面PBC，
∴FG的长即为点F到面PBC的距离，菱形ADCE中，AF=FC，
∴，∵∠PFC=120°，∴∠FPC=∠FCP=30°，
∴
（3）取PB的中点G，连HG，可知∠DHG为所求二面角，，，
在直角三角形DHO中，，又因为GH⊥面POC，
∴GH⊥OH．        
（或）．