Question

已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的每条棱长均为a，M为棱A₁C₁上的动点．
（1）当M在何处时，BC₁∥平面MB₁A，并证明之；
（2）在（1）下，求平面MB₁A与平面ABC所成的二面角的大小；
（3）求B-AB₁M体积的最大值．

Answer

（I）当M在A1C1中点时，BC1∥平面MB1A．连接NB1并延长与CB延长线交于G，在△CGN中，利用BC1为中位线得BC1∥GN，从而可证BC1∥平面MAB1；
（II）可证∠MAC为平面MB1A与平面ABC所成二面角的平面角，进而可求；
（Ⅲ）设动点M到平面A1ABB1的距离为hM，利用等体积进行转化，从而可求B-AB1M体积最大值．
【解析】
（I）当M在A1C1中点时，BC1∥平面MB1A
∵M为A1C1中点，延长AM、CC1，使AM与CC1延长线交于N，则NC1=C1C=a
连接NB1并延长与CB延长线交于G，则BG=CB，NB1=B1G     （2分）
在△CGN中，BC1为中位BC1∥GN
又GN⊂平面MAB1，∴BC1∥平面MAB1 （4分）
（II）∵△AGC中，BC=BA=BG∴∠GAC=90°
即AC⊥AG     又AG⊥AA1    AA1∩AC=A∴AG⊥平面A1ACC1，AG⊥AM（6分）
∴∠MAC为平面MB1A与平面ABC所成二面角的平面角∴
∴所求二面角为 arctan2．（8分）
（Ⅲ）设动点M到平面A1ABB1的距离为hM．
即B-AB1M体积最大值为．此时M点与C1重合．   （12分）