Question

设，β∈（π，2π），的夹角为θ₁，的夹角为θ₂，且θ₁-θ₂=；
（1）用α，β表示cosθ₁，cosθ₂；
（2）求sin的值．

Answer

（1）由α和β的范围，得到sinα和sinβ的正负，进而得到1+cosα和1-cosβ的正负，从而确定两向量所在的象限，然后利用平面向量的数量积运算法则化简•，再根据平面向量的夹角公式即可表示出cosθ1，同理可表示出cosθ2；
（2）根据（1）表示出的cosθ1和cosθ2，由角的范围可表示出θ1和θ2，代入已知的等式θ1-θ2=，即可求出的度数，利用特殊角的三角函数值即可求出sin的值．
【解析】
（1）∵α∈（0，π），β∈（π，2π），
∴sinα＞0，sinβ＜0，又1+cosα＞0，1-cosβ＞0，
∴在第一象限，在第四象限，
∴•=1+cosα=||||cosθ1=cosθ1，
∴cosθ1====|cos|=cos，
则θ1=，
又=1-cosβ=||||cosθ2=cosθ2，
∴cosθ2===|sin|=sin=cos（-），
则θ2=-；
（2）由θ1-θ2=，将（1）表示出的θ1和θ2代入得到-（-）=，即=-，
所以=-，
则sin=sin（-）=-sin=-．