Question

已知S_n是等比数列{a_n}的前n项和，S₃，S₉，S₆成等差数列，判断a₂，a₈，a₅是否成等比数列，并说明理由．

Answer

由已知，S3，S9，S6成等差数列，既有 S3+S6=2S9，分q=1，q≠1 两种情形利用等比数列前n项和公式化简S3+S6=2S9得到关于q的方程，求出q的值后，再按照等比数列的定义判断a2，a8，a5是否成等比数列．
【解析】
由已知，S3，S9，S6成等差数列，S3+S6=2S9
若q=1，则有S3=3a1，S6=6a1，S9=9a1．
即得3a1+6a1=18a1，得a1=0，不符合．∴q≠1．
∴
整理得q3（2q6-q3-1）=0．
由q≠0得方程2q6-q3-1=0．（2q3+1）（q3-1）=0，∵q≠1，q3-1≠0，
∴2q3+1=0，q3=．
，==-2，．
所以a2，a8，a5不成等比数列．