Question

倾斜角为α的直线经过抛物线y²=8x的焦点F，且与抛物线交于A，B两点．
（1）若|AF|，4，|BF|成等差数列，求直线AB的方程；
（2）若α为锐角，作线段AB的垂直平分线m交于x轴于点P，试证明|FP|-|FP|cos2α为定值，并求此定值．

Answer

（1）解1：由|AF|，4，|BF|成等差数列，知|AF|+|BF|=8=|AB|．由y2=8x，知焦点F为（2，0）．设AB的方程为：x=my+2，得y2-8my-16=0，由韦达定理和弦长公式能求出直线AB方程．
解2：令A（x1•y1），B（x2•y2），则|AF|=x1+2|BF|=x2+2，所以线段AB的中点的横标为=2．直线AB过焦点F（2，0），由此能求出直线AB方程．
（2）由已知令直线AB的方程为y=tanα•（x-2），由得：x2tam2α-4（tan2α+2）x+4tan2α=0∴x1+x2=y1+y2=tanα•（x1+x2-4）=，所以AB中线m的方程为：y-，由此能够证明|FP|-|FP|cos2α为定值，并能求出此定值．
（1）解法一：∵|AF|，4，|BF|成等差
∴|AF|+|BF|=8=|AB|
∵y2=8x
∴焦点F为（2，0）
设AB的方程为：x=my+2
则由：=8（my+2）
得 y2-8my-16=0
∴y1+y2=8m，y1•y2=-16
∴弦长|AB|=|
=
=
∴m=0
∴直线AB方程为x=2．
解法二：令A（x1•y1），B（x2•y2），
则|AF|=x1+2，|BF|=x2+2
∴|AF|+|BF|=x1+x2+4=8
即x1+x2=4
∴线段AB的中点的横标为=2
而直线AB过焦点F（2，0），
∴直线AB垂直x轴
即AB方程为x=2．
（2）证明：由已知令直线AB的方程为y=tanα•（x-2），则
由得：
∴x2tanα-4（tan2α+2）x+4tan2α=0，
∴x1+x2=y1+y2=tanα•（x1+x2-4）=
∴AB的中点为．
∴AB中垂线m的方程为：y-
令 y=0得：x=6+
∴|PF|=|x-2|=4+
∴|PF|-|PF|•cos2α=|PF|（1-cos2α）=2|PF|•sin2α
=8α
=8．