Question

（文科做） 如图，在边长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中M、N、P、Q分别为AD，CD，BB₁，C₁D₁的中点
（1）求点P到平面MNQ的距离；
（2）求直线PN与平面MPQ所成角的正弦值．

Answer

（1）根据PB∥平面MNQ，则P到平面MNQ的距离即为B到平面MNQ的距离，在平面ABCD中，连接BD则BD⊥MN，求出点B到MN的距离即可求出所求；
（2）设N到MPQ之距为d，然后利用利用等体积法求出d，从而可求出PN与平面MPQ所成角θ的正弦值．
【解析】
（1）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N、P、Q分别为AD、DC、BB1、C1D1中点
∵PB∥QN即PB∥平面MNQ，∴P到平面MNQ的距离即B到平面MNQ的距离．
在平面ABCD中，连接BD则BD⊥MN，故B到MN之距为，
因此P到平面MNQ的距离为．
（2）在四面体N-MPQ中，，又底面三角形MPQ是正三角形，    ，
设N到MPQ之距为d
，
∴．
故PN与平面MPQ所成角θ的正弦值．