Question

在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若a：b=cosB：cosA=：1，则a：c=（ ）
A．
B．
C．
D．0

Answer

根据正弦定理表示出a：b，与已知的等式相等，变形再利用二倍角的正弦函数公式化简，可得sin2A=sin2B，由A和B都为三角形的内角，得到A=B或A与B互余，由a：b的比值不为1，得到a与b不相等，可得A与B不相等，故A与B互余，可得C为直角，则三角形ABC为直角三角形，根据a与b的比值设出a与b，根据勾股定理表示出c，即可求出a：c的比值．
【解析】
根据正弦定理=，得a：b=sinA：sinB，
又a：b=cosB：cosA，∴sinA：sinB=cosB：cosA，
∴sinAcosA=sinBcosB，即sin2A=sin2B，
∵A，B都为三角形的内角，
∴2A=2B或2A+2B=180°，
解得：A=B或A+B=90°，
由a：b=：1，得到a≠b，所以A≠B，
∴A+B=90°，即△ABC为直角三角形，且c为斜边，
设a=k，b=k，根据勾股定理得：c=k，
则a：c=：．
故选B