Question

设数列{a_n}满足a_n+1=a_n²-na_n+1，n=1，2，3，…，当a₁=2时，求a₂，a₃，a₄，并由此猜想出a_n的一个通项公式并用数学归纳法证明．

Answer

在递推公式中，依次令n=1，2，3代入式子计算，求a2，a3，a4，由特殊值的规律推导出一般关系式为an=n+1． 再按照数学归纳法步骤进行证明．
【解析】
根据题目给出的关系式可得：
n=1，a2=a12-a1+1=22-2+1=3，
n=2，a3=a22-2a2+1=32-2×3+1=4，
n=3，a4=a32-3a3+1=42-3×4+1=5，
由此可以猜测an=n+1．
下面用数学归纳法证明
当n=1时，a2=2=1+1，成立．
假设当n=k（k≥2）时成立．即ak=k+1，
那么当n=k+1时，ak+1=ak2-kan+1=（k+1）2-k（k+1）+1=k+2=（k+1）+1
即当n=k+1时也成立．
所以an=n+1．