Question

P为椭圆上的任意一点（异于顶点），椭圆短轴上两个端点分别是B₁、B₂若直线PB₁，PB₂分别与x轴交于点M，N，求证：|OM|，a，|ON|成等比数列．

Answer

求出椭圆上下顶点坐标，设P（xo，yo）M（xm，0）N（xn，0），利用M，P，B1三点共线求出M，N的横坐标，利用p在椭圆上，推出|OM|•|ON|=a2即可．
【解析】
由椭圆方程知B1（0，b），B2（0，-b）另设P（xo，yo）M（xm，0）N（xn，0）（2分）
由M，P，B1三点共线，知（4分）
所以（6分）
同理得（9分）|OM|•|ON|=…①，
又P在椭圆上所以即代入①得              10分
|OM|•|ON|==（12分）
（或由向量共线，或由直线方程截距式等求得点M坐标可相应给分）