Question

如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PC的中点．
（1）求证：EF∥平面PAD；
（2）求证：EF⊥CD．

Answer

（1）取PD中点Q，连AQ、QF，易证EF∥AQ，根据直线与平面平行的判定定理可证得EF∥面PAD；
（2）欲证CD⊥EF，可先证直线与平面垂直，CD⊥AD，CD⊥PA，PA∩AD=A，根据直线与平面垂直的判定定理可知CD⊥面PAD，从而得到CD⊥EF；
证明：（1）取PD中点Q，连AQ、QF，则AE∥QF
∴四边形AEFQ为平行四边形
∴EF∥AQ
又∵AQ在平面PAD内，EF不在平面PAD内
∴EF∥面PAD；
（2）∵CD⊥AD，CD⊥PA，PA∩AD=A
PA在平面PAD内，AD在平面PAD内
∴CD⊥面PAD
又∵AQ在平面PAD同
∴CD⊥AQ
∵EF∥AQ
∴CD⊥EF；