Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=AA₁=2，∠ACB=90°，E，F，G分别为AC，AA₁，AB的中点，（1）求证：B₁C₁∥平面EFG（2）求三棱锥B₁-EFG的体积．

Answer

（1）要证B1C1∥平面EFG，只要在平面EFG内找出一直线与B1C1平行，由E，F为△AB，AC中点，可得GE∥BC．而B1C1∥BC，可得B1C1∥GE，从而可证
（2））由（1）知可得C1与B1到平面EFG的距离相等，则，容易证明B1C1⊥平面C1CA1，而B1C∥GE，可得GE⊥平面C1EF，即GE为G到平面EFC1的距离，代入锥体的体积公式可求
【解析】
（1）E，F为△AB，AC中点，∴GE∥BC．
∵B1C1∥BC，∴B1C1∥GE，
∵GE⊂平面GEF，B1C1∉平面GEF，
∴B1C1∥平面EFG  
（2）∵B1C1∥平面EFG，∴C1与B1到平面EFG的距离相等．  
∴
∵B1C1⊥A1C1，B1C1⊥C1C1，A1C1∩C1C=C1
∴B1C1⊥平面C1CA1
∵B1C∥GE∴GE⊥平面C1EF
∵，
∴