Question

已知y=f（x）是偶函数，而y=f（x+1）是奇函数，且对任意0≤x≤1，都有f（x）＞0且f'（x）＜0，则a=f（1），b=f（10），c=f（100）的大小关系是（ ）
A．c＜a＜b
B．c＜b＜a
C．b＜c＜a
D．b＜a＜c

Answer

y=f（x）是偶函数，而y=f（x+1）是奇函数可推断出f（x）是周期为4的函数，y=f（x）是偶函数，对任意0≤x≤1，都有f'（x）＜0，知y=f（x）在（0，1）上是减函数，由这些性质将三数化简为自变量在0≤x≤1的函数值来表示，再利用单调性比较大小．
【解析】
∵y=f（x）是偶函数，y=f（x+1）是奇函数
故有f（-x）=f（x），f（-x+1）=-f（x+1），
∴f（x-1）=-f（x+1），f（x-1）=f（x+3），由此可推断出=f（x）是周期为4的函数故
∴f（10）=f（2）=-f（1）＜0，f（100）=f（0）＞0，f（1）＞0
∵0≤x≤1，都有f（x）＞0且f'（x）＜0
∴函数f（x）在[0，1]单调递减
∴f（0）＞f（1）＞0＞-f（1）
即c＞a＞b
故选：D