Question

下列说法正确的是    ．（填入所有正确序号）
①若（1-x）⁷=a+a₁x+a₂x²+…+a₇x⁷，则a₂+a₄+a₆=64；
②（1-x）⁷展开式中系数最小项是第5项；
③若令x=100，则（1-x）⁷被1000除，余数是301；
④（1-x）+（1-x）²+…+（1-x）⁷的展开式中含x⁵项的系数是-28．

Answer

对于①，分别令x=0，求a，令x=1，求a+a1+a2+…+a7，令x=-1，求a-a1+a2+…-a7，从而求得a2+a4+a6=63；
②（1-x）7展开式中奇数项系数为负，偶数项为正，故可判断；
③若令x=100，利用（1-x）7的展开式，再确定被1000除，余数是301，故可判断；
④（1-x）+（1-x）2+…+（1-x）7的展开式中含x5项为-C55x5-C65x5-C75x5=-28x5，故可判断
【解析】
对于①，令x=0，则a=1，令x=1，则a+a1+a2+…+a7=0，令x=-1，则a-a1+a2+…-a7=27，∴a2+a4+a6=63，故错误；
②（1-x）7展开式中奇数项系数为负，偶数项为正，故错误；
③若令x=100，则（1-x）7=C7+C71×100+C72×10000+…+C77×1007被1000除，余数是301，故正确；
④（1-x）+（1-x）2+…+（1-x）7的展开式中含x5项为-C55x5-C65x5-C75x5=-28，故正确．
故答案为③④