Question

点P是圆x²+y²=16上的一个动点，过点P作D垂直于x轴，垂足为D，Q为线段PD的中点．
（Ⅰ）求点Q的轨迹方程．
（Ⅱ）已知点M（1，1）为上述所求方程的图形内一点，过点M作弦AB，若点M恰为弦AB的中点，求直线AB的方程．

Answer

（Ⅰ）设Q（x，y），P（x，y），则D（x，0），由Q为线段PD的中点，知，由P（x，y）在圆x2+y2=16上，知x2+y2=16，由此能求出点Q的轨迹方程．
（Ⅱ）设直线AB的方程为y-1=k（x-1）．由，得（1+4k2）x+8k（1-k）x+4（1-k）2-16=0，设，而M（1，1）是AB中点，则，由此能求出直线方程．
【解析】
（Ⅰ）设Q（x，y），P（x，y），则D（x，0），
∵Q为线段PD的中点，∴，即，
∵P（x，y）在圆x2+y2=16上，
∴x2+y2=16，
∴x2+（2y）2=16，即为所求．…（5分）
（Ⅱ）依题意显然AB的斜率存在，设直线AB的斜率为k，
则AB的方程可设为y-1=k（x-1）．
由，得x2+4（kx+1-k）2=16，
得（1+4k2）x+8k（1-k）x+4（1-k）2-16=0…（8分）
设，
而M（1，1）是AB中点，则，
∴，，解得k=-．
∴直线AB的方程为，即x+4y-5=0…（12分）