Question

已知{a_n}是等比数列，a₁=2，a₃=18；{b_n}是等差数列，b₁=2，b₁+b₂+b₃+b₄=a₁+a₂+a₃＞20．
（Ⅰ）求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{c_n}满足c_n=a_n+b_n，求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer

（Ⅰ）因为{an}是等比数列，{bn}是等差数列，所以可把b2，b3，b4都用b1和d表示，a2，a32都用a1和q表示，再根据a1=2，a3=18，求出q，根据b1=2，b1+b2+b3+b4=a1+a2+a3＞20求出d，就可得到数列{bn}的通项公式．
（Ⅱ）由（Ⅰ）中所得{an}和{bn}的通项公式，可知数列{cn}是等差数列与等比数列的和构成的数列，所以可分别求出{an}和{bn}的前n项和，再相加，就是数列{cn}的前n项和Sn．
【解析】
（Ⅰ）设{an}的公比为q，由a3=a1q2得q2==9，q=±3．
当q=-3时，a1+a2+a3=2-6+18=14＜20，
这与a1+a2+a3＞20矛盾，故舍去．
当q=3时，a1+a2+a3=2+6+18=26＞20，故符合题意．
设数列{bn}的公差为d，由b1+b2+b3+b4=26得4b1+d=26．
又b1=2，解得d=3，所以bn=3n-1．
（Ⅱ）Sn=（a1+a2+…+an）+（b1+b2+…+bn）
=
=
∴数列{cn}的前n项和Sn=3n+n-1