Question

已知抛物线C：y²=2px，点P（-1，0）是其准线与x轴的焦点，过P的直线l与抛物线C交于A、B两点．
（1）当线段AB的中点在直线x=7上时，求直线l的方程；
（2）设F为抛物线C的焦点，当A为线段PB中点时，求△FAB的面积．

Answer

（1）先求出抛物线的方程，再将其与直线方程联立，利用线段AB的中点在直线x=7上，从而求出直线l的方程；
（2）利用点B在抛物线上及A为线段PB中点，求出点B的坐标，进而求出△FAB的面积．
【解析】
（1）因为抛物线的准线为x=-1，所以p=2，抛物线方程为y2=4x（2分）
设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l的方程为y=k（x+1），（依题意k存在，且k≠0）与抛物线方程联立，消去y得k2x2+（2k2-4）x+k2=0…（*），x1x2=（14分）
所以AB中点的横坐标为，即所以（6分）
（此时（*）式判别式大于零）
所以直线l的方程为（7分）
（2）因为A为线段PB中点，所以（8分）
由A、B为抛物线上点，得，y22=4x2（10分）
解得x2=2，（11分）
当时，；当时，（12分）
所以△FAB的面积（14分）