Question

已知函数f（x）=3^x，且f^-1（18）=a+2，g（x）=3^ax-4^x
（1）求a的值；
（2）求g（x）的表达式；
（3）当x∈[-1，1]时，g（x）的值域并判断g（x）的单调性．

Answer

（1）欲求a的值，根据f-1（18）=a+2，只要即从原函数式中反解出x，后再进行x，y互换，求得反函数的解析式即可．
（2）由（1）求得的a值直接代入g（x）=3ax-4x欲即得g（x）的表达式；
（3）令u=2x，将g（x）的值域、单调性问题转化为二次函数u-u2的值域、单调性解决即可．
【解析】
（1）f-1（x）=log3x，log318=a+2，
∴a=log32．
（2）g（x）=（3a）x-4x=（3log32）x-4x=2x-4x．
（3）令u=2x，
∵-1≤x≤1，则≤u≤2，
g（x）=φ（u）=u-u2=-（u-）2+，
当u=时，φ（u）max=，当u=2时，φ（u）min=-2．
∴g（x）的值域为[-2，]，
当-1≤x≤1时，≤u≤2，φ（u）为减函数，而u=2x为增函数，
g（x）在[-1，1]上为减函数．