Question

在数列{a_n}中，a₁=1，n≥2时，a_n、S_n、S_n-成等比数列．
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer

（1）先根据n≥2时，an、Sn、Sn-成等比数列建立等式关系，令n=2，n=3，n=4，可分别求出a2，a3，a4；
（2）将Sn2=an（Sn-）中的an用Sn-Sn-1表示，化简可得{}是首项为=1，公差为2的等差数列，求出Sn，最后利用由求出an即可．
【解析】
（1）∵n≥2时，an、Sn、Sn-成等比数列．
∴Sn2=an（Sn-）
当n=2时，S22=a2（S2-），即（1+a2）2=a2（1+a2-）
解得a2=-
当n=3时，S32=a3（S3-），即（1-+a3）2=a3（1-+a3-）
解得a3=-
当n=4时，S42=a4（S4-），即（1--+a4）2=a4（1--+a4-）
解得a4=-
∴
（2）∵Sn2=an（Sn-）
∴Sn2=（Sn-Sn-1）（Sn-）   （n≥2）
化简得2SnSn-1=Sn-1-Sn
∴等式两边同时除以SnSn-1得-=2（n≥2）
∴{}是首项为=1，公差为2的等差数列
∴=1+2（n-1）=2n-1
则Sn=（n≥2）
当n=1时，也满足上式
∴Sn=（n≥1）
an=Sn-Sn-1==（n≥2）
当n=1时，上式也成立
故