Question

设a、b、c分别是先后掷一枚质地均匀的正方体骰子三次得到的点数．
（1）求使函数在R上不存在极值点的概率；
（2）设随机变量ξ=|a-b|，求ξ的分布列和数学期望．

Answer

（1）由题意可得：若f（x）在R上不存在极值点，则f′（x）≥0恒成立，即△=（a+c-2b）2≤0，可得a、b、c成等差数列再结合a，b，c的取值计算出概率．
（2）随机变量ξ可能取的值为0，1，2，3，4，5，分别列出计算出其包含的基本事件，再求出其发生的概率，进而列出分布列求出期望．
【解析】
（1）由题意可得：f′（x）=bx2+（a+c）x+（a+c-b）…（1分）
若f（x）在R上不存在极值点，则f′（x）≥0恒成立
∴△=（a+c）2-4b（a+c-b）≤0…（2分）即（a+c-2b）2≤0
∴a+c=2b
∴a、b、c成等差数列…（4分）
又a，b，c∈{1，2，3，4，5，6}
按公差分类a、b、c成等差数列共有6+4×2+4=18种情况
故函数f（x）在R上不存在极值点的概率…（6分）
（2）随机变量ξ可能取的值为0，1，2，3，4，5
若ξ=0，则a=b，所以
若ξ=1，则a=b+1或b=a+1，所以
同理：，，，…（10分）
ξ的分布列为

ξ 1 2 3 4 5
P

所以…（13分）