Question

已知等比数列{a_n} 的各项均为正数，且公比不等于1，数列{b_n}对任意正整数n，均有：（b_n+1-b_n+2）•log₂a₁+（b_n+2-b_n）•log₂a₃+（b_n-b_n+1）•log₂a₅=0 成立，b₁=1，b₇=13；
（1）求数列{b_n}的通项公式及前n项和S_n；
（2）在数列{b_n}中依次取出第1项，第2项，第4项，第8项，…，第2^n-1项，…，组成一个新数列 {c_n}，求数列 {c_n}的前n项和T_n；
（3）对（1）（2）中的S_n、T_n，当n≥3时，比较T_n与S_n的大小．

Answer

（1）设公比为q（q≠1），a3=a1q2，a5=a1q4 代入已知条件（bn+1-bn+2）•log2a1+（bn+2-bn）•log2a3+（bn-bn+1）•log2a5=0，化简可bn+2+bn=2bn+1，所以数列{bn}是等差数列，故可求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn；
（2）观察通项公式可知采用分组求和，再分别代入等比数列及等差数列的求和公式，即可求得．
（3）先猜后证，计算n=3时，T3-S3=2＞0；n=4时，T4-S4=10＞0；猜测n≥3（n∈N）时，Tn＞Sn，从而利用数学归纳法进行证明．
【解析】
（1）设公比为q（q≠1），a3=a1q2，a5=a1q4 …（2分）
代入：（bn+1-bn+2）•log2a1+（bn+2-bn）•log2a3+（bn-bn+1）•log2a5=0得
∴[（bn+1-bn+2）+（bn+2-bn）+（bn-bn+1）]log2a1+2[（bn+2-bn）+2（bn-bn+1）]log2q=0
即（bn+2+bn-2bn+1）log2q=0
∵q≠1，∴log2q≠0
∴bn+2+bn=2bn+1，∴数列{bn}是等差数列   …（4分）
∵
∴bn=2n-1，Sn=n2   …（6分）
（2）∵cn=2•2n-1-1=2n-1
∴Tn=（21-1）+（22-1）+（23-1）+…+（2n-1）=（21+22+23+…+2n）-n=2n+1-n-2
  即数列{bn}的前n项和Sn==2n+1-n-2…（8分）
（3）Tn-Sn=2n+1-（n2+n+2）
n=3时，T3-S3=2＞0；n=4时，T4-S4=10＞0；
猜测n≥3（n∈N）时，Tn＞Sn            …（10分）
用数学归纳法证明如下
①n=3时，T3-S3=2＞0（已证）
②假设n=k（k≥3）时不等式成立，即2k+1＞k2+k+2 …（12分）
n=k+1时，2k+2=2•2k+1＞2（k2+k+2）
又2（k2+k+2）-[（k+1）2+（k+1）+2]=k2-k＞0
∴2k+2＞2（k2+k+2）＞（k+1）2+（k+1）+2
∴Tk+1＞Sk+1
即n=k+1时，不等式成立．
由①②知，当当n≥3时，Tn＞Sn …（14分）