Question

对于函数 f（x），若存在x∈R，使 f（x）=x成立，则称x为f（x）的“滞点”．已知函数f （ x ）=．
（I）试问f（x）有无“滞点”？若有，求之，否则说明理由；
（II）已知数列{a_n}的各项均为负数，且满足，求数列{a_n}的通项公式；
（III）已知b_n=a_n•2ⁿ，求{b_n}的前项和T_n．

Answer

（I）由，令f（x）=x，得x2-2x=0，解得x=0，或x=2．由此知f（x）存在两个滞点0和2．
（II）由题得，所以2Sn=an-an2，故2Sn+1=an+1-an+12，
由②-①得2an+1=an+1-an+12-an+an2，∴（an+1+an）（an+1-an+1）=0∵an＜0∴an+1-an=-1，由此能求出数列{an}的通项公式．
（III）由Tn=-1•2-2•22-3•23-…-n•2n，知2Tn=-1•22-2•23-3•24-…-（n-1）•2n-n•2n+1．由此能求出{bn}的前项和Tn．
【解析】
（I）由，
令f（x）=x，…（2分）
得x2-2x=0，解得x=0，或x=2．
即f（x）存在两个滞点0和2．…（4分）
（II）由题得，
∴2Sn=an-an2…①…（5分）
故2Sn+1=an+1-an+12…②
由②-①得2an+1=an+1-an+12-an+an2，
∴（an+1+an）（an+1-an+1）=0，
∵an＜0，
∴an+1-an=-1，
即{an}是等差数列，且d=-1…（9分）
当n=1时，由2S1=a1-a12=2a1得a1=-1
∴an=-n…（11分）
（III）∵Tn=-1•2-2•22-3•23-…-n•2n…③
∴2Tn=-1•22-2•23-3•24-…-（n-1）•2n-n•2n+1…④
由④-③得Tn=2+22+23+…+2n-n•2n+1
=…（14分）