Question

已知二次函数f（x）满足f（x+1）-f（x）=2x且f（0）=1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）当x∈[-1，1]时，不等式：f（x）＞2x+m恒成立，求实数m的范围．
（3）设g（t）=f（2t+a），t∈[-1，1]，求g（t）的最大值．

Answer

（1）设出二次函数的一般形式后，代入f（x+1）-f（x）=2x，化简后根据多项式相等，各系数相等即可求出a，b及c的值，即可确定出f（x）的解析式；
（2）不等式恒成立即为把不等式变为x2-3x+1＞m，令g（x）等于x2-3x+1，求出g（x）在区间[-1，1]上的最大值，即可得到m的取值范围，求最大值的方法是：把g（x）配方成二次函数的顶点形式，找出对称轴，经过判断发现对称轴在区间内，又二次函数的开口向上，所以得到g（x）的最大值为g（1），代入g（x）的解析式即可得到g（1）的值，让m小于等于g（1）即可求出m的范围；
（3）把x=2t+a代入f（x）的解析式中即可表示出g（t）的函数关系式，由二次函数求对称轴的方法表示出g（t）的对称轴，根据对称轴大于等于0和小于0，分两种情况考虑，分别画出相应的函数图象，根据函数的图象即可分别得到g（t）的最大值，并求出相应t的范围，联立即可得到g（t）最大值与t的分段函数解析式．
【解析】
（1）令f（x）=ax2+bx+c（a≠0）代入f（x+1）-f（x）=2x，
得：a（x+1）2+b（x+1）+c-（ax2+bx+c）=2x，2ax+a+b=2x，
∴，
∴f（x）=x2-x+1；
（2）当x∈[-1，1]时，f（x）＞2x+m恒成立即：x2-3x+1＞m恒成立；
令，
x∈[-1，1]，
则对称轴：，
则g（x）min=g（1）=-1，
∴m＜-1；
（3）g（t）=f（2t+a）=4t2+（4a-2）t+a2-a+1，t∈[-1，1]
对称轴为：，
①当时，即：；如图1：
g（t）max=g（-1）=4-（4a-2）+a2-a+1=a2-5a+7
②当时，即：；如图2：
g（t）max=g（1）=4+（4a-2）+a2-a+1=a2+3a+3，
综上所述：．