Question

已知向量=（k，12），=（4，5），=（10，k）．
（1）若A，B，C三点共线，求实数k的值；
（2）若A，B，C构成直角三角形，求实数k的值．

Answer

（1）若A，B，C三点共线，则 ，λ 为非零实数，由 （4-k，-7）=λ（6，k-5），求出k 的值．
（2）分别由=0、=0、=0，解方程求出实数k的值．
【解析】
（1）若A，B，C三点共线，则 ，λ 为非零实数．
即=λ （ ），∴（4-k，-7）=λ（6，k-5），∴4-k=6λ，-7=λ（k-5），
解得 k=11，或 k=-2．
（2）若A，B，C构成直角三角形，由（1）可得 =（4-k，-7），=（6，k-5），
=-=（10-k，k-12）．
当  时，由=6（4-k）-7（k-5）=0，可得 k=．
当时，由=（4-k，-7）（10-k，k-12）=0，可得 k 无解．
当时，由=（6，k-5）（10-k，k-12）=0，解得 k=8，或k=15．
综上，实数k的值为：，8，15．