Question

设函数 f（x）=ax³+bx+c是定义在R上的奇函数，且函数f（x）的图象在x=1处的切线方程y=3x+2．
（Ⅰ）求函数f（x） 的表达式；
（Ⅱ）若对任意x∈（0，1]都有f（x）＜成立，求实数m的取值范围．

Answer

（I）求a，b，c的值，可由函数f（x）=ax3+bx+c是定义在R上的奇函数，且函数f（x）的图象在x=1处的切线方程为y=3x+2转化为方程解出a，b，c的值；
（II）若对任意x∈（0，1]都有f（x）＜成立，求实数k的取值范围，可转化为对任意x∈（0，1]都有xf（x）≤m，下转化为求函数xf（x）在（0，1]的最大值，判断出参数的取值范围问题；
【解析】
（I）∵函数f（x）=ax3+bx+c是定义在R上的奇函数，
∴f（-x）=-f（x），
∵a（-x）3+b（-x）+c=-（ax3+bx+c），
∴c=0．                                       （2分）
又f（x）在x=1处的切线方程为y=3x+2，
由f'（x）=3ax2+b，
∴f'（1）=3，且f（1）=5，
∴得 ．                        （5分）
∴f（x）=-x3+6x…6分
（II）f（x）=-x3+6x，
依题意 对任意x∈（0，1]恒成立，
∴-x4+6x2≤m对任意x∈（0，1]恒成立，…（7分）
即  m≥-（x2-3）2+9对任意x∈（0，1]恒成立，
∴m≥5．                                         （9分）
即m的取值范同是（5，+∞）．…12分．