Question

在四棱锥P-ABCD中，AB⊥AD，CD∥AB，PD⊥底面ABCD，AB=AD，直线PA与底面ABCD所成的角为60°，M、N分别是PA、PB的中点．
（1）求证：直线MN∥平面PDC；
（2）若∠CND=90°，求证：直线DN⊥平面PBC；
（3）若AB=2，求棱锥B-PAC的体积．

Answer

（1）因为M、N是PA、PB中点，结合三角形中位线定理得MN∥AB，从而MN∥CD，由线面平行的判定定理证得MN∥平面PDC；
（2）因为DN⊥PB，DN⊥CD，由线面垂直判定定理得直线DN⊥平面PBC；
（3）用等体积法，求VP-ABC相应的高PD和底为ABC，再用体积公式即可．
（1）证明：∵M、N是PA、PB中点，
∴MN∥AB，从而MN∥CD．（2分）
∵MN在平面PDC外，CD在平面PDC内，
∴直线MN∥平面PDC；（4分）

（2）证明：∵AB⊥AD，AB=AD，
∴BD=AD．
∵PD⊥底面ABCD，
直线PA与底面ABCD成60°角，
∴PD=AD．∴PD=BD．（6分）
∵N是PB的中点，∴DN⊥PB．
∵∠CND=90°，∴DN⊥CD．
∵PB、CN相交于一点N，
∴直线DN⊥平面PBC；（10分）

（3）VB-PAC
=VP-ABC
=•PD
=AB•AD•PD
=．（14分）