Question

已知数列{a_n}的前n项和a_n+1=2a_n+2，且a₁=2，数列为等比数列，且b₁=2，b₄=4
（1）求{a_n}、{b_n}的通项公式
（2）已知c_n=a_n+2，求{c_n•b_n}的前n项和S_n．

Answer

（1）由an+1=2an+2，知，再由a1=2，得到an=2n+1-2．数列为等比数列，{bn}是等差数列，由b1=2，b4=4，能求出{bn}的通项公式．
（2）cn=an+2=2n+1，cn•bn==，所以+，再由错位相减法能求出{cn•bn}的前n项和Sn．
【解析】
（1）∵an+1=2an+2，
∴an+1+2=2（an+2），
∴，
∵a1=2，
∴a1+2=4，
∴{an+2}是以4为首项，以2为公比的等比数列，
∴an+2=4×2n-1=2n+1．
∴an=2n+1-2．
∵数列为等比数列，
∴{bn}是等差数列，
∵b1=2，b4=4，
∴2+3d=4，
d=，
∴=．
（2）∵an=2n+1-2．
∴cn=an+2=2n+1，
∴cn•bn==，
∴+，①
∴，②
①-②，得
=8+
=8+×
=8+2n+1-4-
=4-，
∴．