Question

给定函数和
（I）求证：f（x）总有两个极值点；
（II）若f（x）和g（x）有相同的极值点，求a的值．

Answer

（I）题目中欲证：“在R上有两个极值点”，利用导数的意义．即导函数有两个零点．从而转化为二次函数f′（x）=0的根的问题，利用根的判别式大于零解决即可．
（II）对函数 g（x）求导可得由g'（x）=0，可得得x=a或-a，结合（I）中结论，从而可得a．
证明：（I）因为f'（x）=x2-2ax+（a2-1）=[x-（a+1）][x-（a-1）]，
令f'（x）=0，则x1=a+1，x2=a-1，------------------------------------------（2分）
则当x＜a-1时，f'（x）＞0，当a-1＜x＜a+1，f'（x）＜0
所以x=a-1为f（x）的一个极大值点，-----------------------（4分）
同理可证x=a+1为f（x）的一个极小值点．-------------------------------------（5分）
另【解析】
（I）因为f′（x）=x2-2ax+（a2-1）是一个二次函数，
且△=（-2a）2-4（a2-1）=4＞0，-------------------------------------（2分）
所以导函数有两个不同的零点，
又因为导函数是一个二次函数，
所以函数f（x）有两个不同的极值点．---------------------------------------（5分）
（II） 因为，
令g'（x）=0，则x1=a，x2=-a---------------------------------------（6分）
因为f（x）和g（x）有相同的极值点，且x1=a和a+1，a-1不可能相等，
所以当-a=a+1时，，当-a=a-1时，，
经检验，和时，x1=a，x2=-a都是g（x）的极值点．--------------（8分）