Question

将直径为d的圆木锯成长方体横梁，横截面为矩形，横梁的强度同它的断面高的平方与宽x的积成正比（强度系数为k，k＞0）．要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁，断面的宽x应是多少？

Answer

据题意横梁的强度同它的断面高的平方与宽x的积成正比（强度系数为k，k＞0）建立起强度函数，求出函数的定义域，再利用求导的方法求出函数取到最大值时的横断面的值．
【解析】
设断面高为h，则h2=d2-x2．
横梁的强度函数f（x）=k•xh2，
所以f（x）=kx•（d2-x2），0＜x＜d．（5分）
当x∈（0，d）时，令f′（x）=k（d2-3x2）=0．（7分）
解得（舍负）．（8分）
当时，f′（x）＞0；（9分）
当时，f′（x）＜0．（10分）
因此，函数f（x）在定义域（0，d）内只有一个极大值点．
所以f（x）在处取最大值，就是横梁强度的最大值．（12分）
即当断面的宽为时，横梁的强度最大．（13分）