Question

记数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，a_n+1=2S_n+1．已知数列{b_n}满足b_n-2=3log₃a_n．
（Ⅰ）求{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer

（Ⅰ）由an+1=2Sn+1，用n-1代替n得an=2Sn-1+1 （n≥2），用两式相减的方法再化简，得{an}是首项为1，公比为3的等比数列．得出{an}和的通项公式，代入bn-2=3log3an，即可得到{bn}的通项为bn=3n-1．
（Ⅱ）cn表达式的形式是等差和等比对应项的积构成的，因此可以用错位相减法求{cn}的前n项和Tn，即先将等式的两边都乘以等比数列的公比，再将得到的新式子与原式相减，就可以化为利用等比数列求和公式的方法解出这个和．
【解析】
（Ⅰ）由an+1=2Sn+1，得an=2Sn-1+1，（n≥2）
两式相减，得an+1-an=2an，an+1=3an，（n≥2）
又a2=2S1+1，∴a2=3a1．
所以{an}是首项为1，公比为3的等比数列．
∴an=3n-1．…（4分）
又∵bn=3log3an+2=3log33n-1+2=3（n-1）+2=3n-1．
∴bn=3n-1..…（7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ），得cn=（3n-1）×3n-1..…（8分）
∴Tn=2×1+5×31+8×32+…+（3n-4）×3n-2+（3n-1）×3n-1，…（9分）
3Tn=2×3+5×32+8×33+…+（3n-4）×3n-1+（3n-1）×3n，
两式相减，得：-2Tn=2+3×3+3×32+…+3×3n-1-（3n-1）×3n=，
∴…（13分）
应改为：-2Tn=2+3×3+3×32+…+3×3n-1-（3n-1）×3n=，
∴…（13分）