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过点P(0,2)的直线L与抛物线y2=2x有且只有一个公共点,则直线L的方程是 ...

过点P(0,2)的直线L与抛物线y2=2x有且只有一个公共点,则直线L的方程是   
设直线L的斜率等于k,则当 k=0时,直线l与其对称轴平行,所以此时直线与抛物线只有一个公共点;再讨论直线与抛物线相切的情况,注意要分斜率存在于斜率不存在两种情况讨论. 【解析】 ①设直线L的斜率存在且等于k, 则当 k=0时,直线L的方程为 y=2,满足直线与抛物线y2=2x仅有一个公共点; 当k≠0时,直线L是抛物线的切线,设直线L的方程为 y=kx+2, 代入抛物线的方程可得:k2x2+(4k-2)x+4=0, 由△=(4k-2)2-4k2•4=0得 k=,故切线方程为y=x+2. ②当斜率不存在时,直线方程为x=0,经过检验可得此时直线也与抛物线y2=2x相切. 故答案为:y=2,或 x=0,或y=x+2.
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