Question

已知函数f（x）=x²-2ax，把函数f（x）的图象向左平移一个单位得到函数y=g（x）的图象，且一个（x）是偶函数．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）设函数F（x）=f（x）-[g（x）+1]，求函数F（x）在区间[[1，3]上的最大值和最小值．

Answer

（I）利用图象平移的规律得到g（x）的解析式，根据y=f（x）是偶函数，令1-a=0求出a的值．
（II）求出F（x），F′（x），令导数为0求出两个根，列出x在[1，3]上变化时，F′（x），F（x）的变化情况表，求出最值．
【解析】
（Ⅰ）由题意得g（x）=f（x+1）=x2+2（1-a）x-2a+1． （2分）
∵y=f（x）是偶函数，
∴1-a=0
∴a=1 （4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=x2-2x，g（x）=x2-1
∴F（x）=f（x）-[g（x）+1]=x4-2x3（5分）
∴F′（x）=4x3-6x2=2x2（2x-3）（6分）
令2x2（2x-3）=0得x1=x2=0，x3= （8分）
当x在[1，3]上变化时，F′（x），F（x）的变化情况如下表

x 1 3
F′（x） - +
F（x） -1 ↘ ↗ 27

（12分）
∴函数y=F（x）在区间[1，3]上的最大值、最小值分别是27、． （13分）