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设数列{an}的前n项和为Sn,且满足S1=2,Sn+1=3Sn+2(n=1,2...

设数列{an}的前n项和为Sn,且满足S1=2,Sn+1=3Sn+2(n=1,2,3,…).
(Ⅰ)证明数列{an}是等比数列并求通项an
(Ⅱ)求数列{nan}的前n项和Tn
(I)由Sn+1=3Sn+2,知Sn=3Sn-1+2(n≥2),两式作差可得an+1=3an(n≥2),然后验证第二项与第一项的比是否满足,从而证明{an}是等比数列,然后根据等比数列的通项公式解之即可; (II)根据数列{nan}的特点可知利用错位相消法进行求和即可. 证明:(Ⅰ)∵Sn+1=3Sn+2, ∴Sn=3Sn-1+2(n≥2) 两式相减得an+1=3an(n≥2) ∵S1=2,Sn+1=3Sn+2 ∴a1+a2=3a1+2即a2=6则=3 ∴=3(n≥1) ∴数列{an}是首项为2,公比为3的等比数列 ∴an=2×3n-1(n=1,2,3,…). (Ⅱ)∵Tn=1•a1+2•a2+…+nan=1×2+2×2×31+…+n×2×3n-1, ∴3Tn=1×2×3+2×2×32+…+(n-1)×2×3n-1+n×2×3n,(9分) ∴-2Tn=2(1+3+32+…3n-1)-n×2×3n=2×-n×2×3n=3n(1-2n)-1(11分) ∴ (13分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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