Question

如图所示的螺旋线是用以下方法画成的，△ABC是边长为1的正三角形，曲线CA₁，A₁A₂，A₂A₃分别是A，B，C为圆心，AC，BA₁，CA₂为半径画的弧，曲线CA₁A₂A₃称为螺旋线的第一圈；然后又以A为圆心，AA₃半径画弧，如此继续下去，这样画到第n圈．设所得螺旋线CA₁A₂A₃…A_3n-2A_3n-1A_3n的总长度为S_n．求
（1）S₁=    ；
（2）S_n=    ．

Answer

（1）当n=1时，即为螺旋线CA1A2A3的长度和，所以S1=+2×+3×=4π
（2）由题知如果这样画到第n圈得到n条螺旋线，是由3n条弧长构成，这些弧长的圆心角都为 ，根据弧长公式得到这些弧长是 为首项，为公差，项数为3n的等差数列，所以这些螺旋线的总长度即为等差数列的前3n的和，求出即可．
【解析】
（1）当n=1时，S1=+2×+3×=4π
（2）根据弧长公式知CA1，A1A2，A2A3…A3n-2A3n-1，A3n-1A3n的长度分别为：，，…，，
化简得：，2×，3×，…，3n×，此数列是 为首项，为公差，项数为3n的等差数列，则根据等差数列的求和公式得Sn=3n×+×=2nπ+nπ（3n-1）=n（3n+1）π．
故答案为：4π、n（3n+1）π