Question

如图：已知四边形ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB，AD的中点，GC垂直于ABCD所在平面，且GC=2．
（1）求异面直线BC与GE所成的角的余弦值；
（2）求平面CBG与平面BGD的夹角的余弦值；
（3）求三棱锥D-GEF的体积．

Answer

（1）以C为原点，CB为x轴，CD为y轴，CG为z轴建立空间直角坐标．用坐标表示向量，再利用夹角公式，可求异面直线BC与GE所成的角的余弦值；
（2）分别求出平面BCG、平面BDG的单位法向量，再利用夹角公式，求平面CBG与平面BGD的夹角的余弦值；
（3）根据GC⊥平面ABCD，可知GC为三棱锥G-DEF的高，利用VD-GEF=VG-DEF，可求三棱锥D-GEF的体积．
【解析】
如图，以C为原点，CB为x轴，CD为y轴，CG为z轴建立空间直角坐标．
则依题意，有C（0，0，0），B（4，0，0），E（4，2，0），
F（2，4，0），D（0，4，0），G（0，0，2）．
（1）=（4，0，0），=（4，2，-2），
∴
∴…（4分）
（2）由题意可知，平面BCG的单位法向量=（0，1，0），
设平面BDG的单位法向量为=（x，y，z），
∵=（-4，0，2），=（0，-4，2），
得，∴，或，
取
∴．…（8分）
（3）∵四边形ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，
∴EF∥BD且EF与BD间的距离为，
又
∴．
又GC⊥平面ABCD，所以GC为三棱锥G-DEF的高，
∴．…（12分）