Question

设a，b，x，y∈R⁺，且a²+b²=1，x²+y²=1，试证：ax+by≤1．

Answer

先将已知两等式相加，并重新进行变量组合，再利用均值定理得a2+x2≥2ax，b2+y2≥2by，最后同向不等式相加即可证得所需结论
证明：∵a2+b2=1，x2+y2=1
∴a2+b2+x2+y2=2
∵a2+x2≥2ax，b2+y2≥2by
∴，
∴
∴ax+by≤1（当且仅当a=x，且b=y时等号成立）