Question

已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，点M（4，1）是椭圆上一定点，直线l：y=x+m交椭圆于不同的两点A、B．
（1）求椭圆方程；
（2）求m的取值范围；
（3）求△OAB面积的最大值．（点O为坐标原点）

Answer

（1）由椭圆（a＞b＞0）的离心率为，知a=2k，c=，b2=k2，由椭圆过点M（4，1），解得k2=5，由此能求出椭圆方程．
（2）将y=x+m代入，并整理得5x2+8mx+4m2-20=0，由△=（8m）2-20（4m2-20）＞0，能求出m的取值范围．
（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，k=1，=，O到直线AB的距离d=，由此能求出△OAB面积的最大值．
【解析】
（1）∵椭圆（a＞b＞0）的离心率为，
∴a=2k，c=，b2=k2，
∵椭圆过点M（4，1），
∴，解得k2=5，
故椭圆方程为．
（2）将y=x+m代入，并整理得5x2+8mx+4m2-20=0，
△=（8m）2-20（4m2-20）＞0，
解得：-5＜m＜5．
（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），
则，，k=1，
∴
=，
∵O到直线AB的距离d=，
∴△OAB面积≤5．
当且仅当m=±5时，取最大值．