Question

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中：①AD₁与A₁C₁所成的角为60°；②AB₁与平面A₁B₁CD所成的角为30°；③A₁C与平面A₁B₁CD所成的角为90°； ④二面角B₁-AC-D₁的大小是60°；以上结论中正确的是    ．

Answer

①连接A1B，由题意可得AD1与A1C1所成的角与BC1与A1C1所成的角相等，再利用解三角形的有关知识求出答案即可．
②取AD1的中点为好，连接B1H．由正方体的结构特征可得：AD1⊥平面A1B1CD于点H，可得∠AB1H为直线AB1与平面A1B1CD所成的角，再放入三角形中求出答案即可．
③因为A1C⊂平面A1B1CD，所以A1C与平面A1B1CD所成的角为0°．
④取AC的中点为G，可得D1G⊥AC并且B1G⊥AC，所以∠B1GD1是二面角B1-AC-D1的平面角，再根据三角形的性质可得④错误．
【解析】
①连接A1B，由题意可得：AD1∥BC1，所以AD1与A1C1所成的角与BC1与A1C1所成的角相等，因为在正方体ABCD-A1B1C1D1 中，A1B=BC1=A1C1，所以∠BC1A1=60°，所以AD1与A1C1所成的角为60°，所以①正确．
②取AD1的中点为好，连接B1H．由正方体的结构特征可得：AD1⊥平面A1B1CD于点H，∴直线B1H是直线AB1在平面A1B1CD上的射影．∴∠AB1H为直线AB1与平面A1B1CD所成的角．又∵AB1=2AH，∴∴∠AB1H=30°．所以②正确．
③因为A1C⊂平面A1B1CD，所以A1C与平面A1B1CD所成的角为0°，所以③错误．
④取AC的中点为G，在△D1AC中，D1A=D1C，所以D1G⊥AC；同理可得B1G⊥AC，所以∠B1GD1是二面角B1-AC-D1的平面角，连接B1D1，在△B1GD1中，B1G=D1G≠B1D1，所以二面角B1-AC-D1的大小不是60°，所以④错误．
故答案为：①②．