Question

已知函数f（x）=
（1）当时，求f（x）的最大值；
（2）设g（x）=[f（x）-lnx]•x²，k是g（x）图象上不同两点的连线的斜率，否存在实数a，使得k≤1恒成立？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）由f'（x）≥0，f（x）单调递增，f'（x）＜0，f（x）单调递减求得f（x）max=f（x2）
（2）由g（x）=[f（x）-lnx]•x2=ax-x3不妨设任意不同两点p1（x1，y1），p2（x2，y2），其中x1＜x2
则由斜率公式得由k≤1知：建立a＜1+（x12+x1x2+x22）恒成立，从而求解．
【解析】
（1）当-2≤a＜时，由f'（x）=0得x1=．（2分）
显然-1≤x1＜，＜x2≤2，∴．
又f'（x）=-
当≤x≤x2时，f'（x）≥0，f（x）单调递增；
当x2＜x≤2时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，（5分）
∴f（x）max=f（x2）=
=-．（6分）
（2）存在符合条件
因为g（x）=[f（x）-lnx]•x2=ax-x3
不妨设任意不同两点p1（x1，y1），p2（x2，y2），其中x1＜x2
则（10分）
由k≤1知：a≤1+（x12+x1x2+x22）
又故
故存在符合条件．（12分）