Question

双曲线C的中心在原点，右焦点为，渐近线方程为．
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）设直线l：y=kx+1与双曲线C交于A、B两点，问：当k为何值时，以AB为直径的圆过原点．

Answer

（Ⅰ）设双曲线的方程是，则，．由此能求出双曲线的方程．
（Ⅱ）由，得（3-k2）x2-2kx-2=0，由△＞0，且3-k2≠0，得，且 ．设A（x1，y1）、B（x2，y2），由以AB为直径的圆过原点，知 x1x2+y1y2=0．由此能够求出k=±1．
【解析】
（Ⅰ）设双曲线的方程是，则，．
又∵c2=a2+b2，∴b2=1，．
所以双曲线的方程是3x2-y2=1．
（Ⅱ）①由
得（3-k2）x2-2kx-2=0，
由△＞0，且3-k2≠0，得，且 ．
设A（x1，y1）、B（x2，y2），因为以AB为直径的圆过原点，所以OA⊥OB，
所以 x1x2+y1y2=0．
又，，
所以 y1y2=（kx1+1）（kx2+1）=k2x1x2+k（x1+x2）+1=1，
所以 ，解得k=±1．