Question

四棱锥成为正棱锥的一个充分但不必要条件是（ ）
A．各侧面是正三角形
B．底面是正方形
C．各侧面三角形的顶角为45度
D．顶点到底面的射影在底面对角线的交点上

Answer

各侧面是正三角形是四棱锥成为正棱锥的一个充分但不必要条件；底面是正方形是四棱锥成为正棱锥的必要不充分；各侧面三角形的顶角为45度是四棱锥成为正棱锥的既不充分也不必要条件；各侧面是等腰三角形且底面是正方形是四棱锥成为正棱锥的充要条件．
【解析】
∵各侧面都是等边三角形四棱锥是正棱锥，
但是正四棱锥侧面的三角形腰和底边不一定相等，
∴四棱锥成为正棱锥的一个充分但不必要条件是各侧面是正三角形；
∵底面是正方形的四棱锥不一定是正四棱锥，
但是正四棱锥的底面一定是正方形，
∴底面是正方形是四棱锥成为正棱锥的必要不充分；
∵正四棱锥的侧棱都相等而底面是正方形，
和各侧面三角形的顶角为45度不能保证侧棱都相等．
∴各侧面三角形的顶角为45度是四棱锥成为正棱锥的既不充分也不必要条件；
各侧面是等腰三角形且底面是正方形是四棱锥成为正棱锥的充要条件．
故选A．